MUSIC算法

基本思想：将阵列输出信号的协方差矩阵进行特征分解,根据特征值的大小划分信号子空间和噪声子空间,利用二者的正交性估计信号的来波方向

MIMO信号传输公式

$$Y(t)=A(\theta )X(\theta ,t)$$

将M个阵元在t时刻接收的信号排列成一个列矢量,记为$Y(t)\in \mathbb{C} ^{M\times 1}$，N条径排成列矢量$X(\theta,t)\in \mathbb{C} ^{N\times 1}$
当确定阵列形状，可以得到阵列传输矩阵$A(\theta )\in \mathbb{C} ^{M\times N} ,A(\theta )=[\alpha _{1} ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N} ]$，其中$\alpha _{i}$表示第i个入射波到达阵元的导向矢量
MUSIC(Multiple Signal classification)算法就是估计信道的空间特性，即多径的角度

假设

1. 信号源数N小于阵元的数目M,以确保A列满秩
2. 信号源通常为窄带远场信号(多径，平面波模型，每条径都是随机变量)
3. 不同径是独立的

算法推导

对于Y，协方差矩阵$R\in \mathbb{C}^{M\times M}$为：

$$R=E[YY^{H} ]=AE[XX^{H} ]A^{H}=AR_{S}A^{H}$$

R为半正定厄尔密特矩阵，设$R_{S}$秩为N,将R的特征值正序排列$\lambda _{1} \ge \lambda _{2}\ge \dots \ge \lambda _{N}> \lambda _{N+1}=\dots =\lambda _{M}$,其对应的特
征向量为$e_{1} ,e_{2},\dots ,e_{M}$并且相互正交,R可表示为：

$$R=\sum_{i=1}^{r}\lambda _{i}e_{i} e_{i}^{H}+\sum_{j=N+1}^{M} \lambda _{j} e_{j} e_{j}^{H}$$

记信号子空间$U_{S} =[e_{1},e_{2},\dots ,e_{N} ]$,噪声子空间$U_{N} =[e_{N+1},\dots ,e_{M} ]$
信号子空间与噪声子空间正交
由于$AR_{S} A^{H} e_{j} =0,j> N$，又因为$AR_{S}$列满秩，所以$A^{H} e_{j},j>N$，即噪声子空间和A的导向矢量张成的空间正交，即A的导向矢量张成的空间就是信号子空间，即

$$\alpha^{H}(\theta ) U_{N}=0$$

实践操作

对接收到的阵元信号矢量进行协方差运算，得到协方差矩阵的最大似然估计：

$$\widehat{R}=\frac{1}{L} \sum_{i=1}^{L} YY^{H}$$

进行特征分解，得到信号子空间和噪声子空间，对角度进行遍历，得到

$$\min_{\theta } \alpha ^{H}(\theta ) \widehat{U }_{N} \widehat{U }_{N} ^{H} \alpha _{\theta }$$